Дробное исчисление и его применение (2003, Нахушев А.М.)

Предисловие 7
Глава 0. Вводные сведения 9
0.1. Формула Харди—Литтльвуда и уравнение Абеля 9
0.2. Основные свойства операторов Римана-Лиувилля 11
0.3. Закон взвешенной композиции операторов дробного интегрирования с одинаковыми началами и оператор М. Сайго 12
0.4. Обобщённые дробные интегралы и их взаимосвязь 15
0.5. Закон композиции операторов Римана—Лиувилля и Эрдейи—Кобе 17
0.6. Закон взвешенной композиции операторов дробного дифференцирования и интегрирования с одинаковыми началами 18
0.7. Теорема о среднем значении для уравнения Геллерстедта 20
0.8. Законы композиции операторов дробного интегрирования и дифференцирования с различными началами 22
0.9. Связь между интегралами Римана-Лиувилля и интегралом в смысле главного значения по Коши 24
0.10. Операторы дробного интегрирования, порождённые функцией Римана 25
0.11. Алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования дробного порядка 27
0.12. Дробное дифференцирование как способ определения потоков 29
Глава 1. Качественные и структурные свойства операторов дискретного и непрерывного интегродифференцирования 32
1.1. Континуальная производная и её связь с дискретной производной дробного порядка 32
1.2. Формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимная сопряжённость операторов дробного интегрирования и дифференцирования 34
1.3. О положительности одного оператора со степенным ядром 35
1.4. Новый класс положительных ядер 38
1.5. Теорема о положительности обобщённого оператора дробного интегрирования с фиксированными началом и концом 42
1.6. О положительности операторов дискретного и непрерывного интегрирования 43
1.7.0 положительности оператора дробного дифференцирования и континуального интегрирования сегментного порядка 46
1.8. О структурном свойстве оператора, обратного оператору со степенным ядром 47
1.9. О структурном свойстве оператора, обратного оператору дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом в общем случае 49
1.10. Представление сингулярного интеграла через гипергеометрические функции 50
1.11. О формулах обращения оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом (продолжение § 1.9) 56
1.12. Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования с фиксированными началом и концом и видоизменённая задача Коши 60
1.13. Критерии разрешимости видоизменённой задачи Коши для уравнения типа Карлемана 72
1.14. Формула обращения дробного интеграла бесконечно малого порядка 76
1.15. Формула обращения оператора Адамара 80
1.16. Формула обращения оператора Адамара с фиксированными началом и концом 81
1.17. Континуальный аналог интегрального уравнения Абеля 83
1.18. Решение непрерывного интегрального уравнения Абеля операционным методом 84
1.19. Обобщённая формула Ньютона-Лейбница 86
Глава 2. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для дискретных и непрерывных дифференциальных уравнений 90
2.1. Видоизменённая задача Коши для модельного непрерывного дифференциального уравнения 90
2.2.0 локальной и нелокальной задаче Коши для оператора дробного дифференцирования порядка, меньшего единицы 92
2.3. Редукция функций Работнова к функциям типа Миттаг—Леффлёра, Барретта. Задача Коши в постановке Барретта для дифференциального оператора дробного порядка 97
2.4. Локальная задача Коши для оператора дробного дифференцирования порядка, большего единицы, но меньшего двух 100
Глава 3. Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы для модельных дифференциальных операторов дробного порядка 104
3.1. Аналог теоремы Ферма и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка, меньшего единицы 104
3.2. Видоизменённая задача Коши для вырождающегося дифференциального уравнения дробного порядка 106
3.3. Аналог критерия второй производной в дробном исчислении 115
3.4. О спектре обобщённого оператора Капуто 120
3.5. К проблеме о вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлёра 128
3.6. Принцип экстремума для обыкновенного нелокального дифференциального уравнения второго порядка 130
Глава 4. Задачи Дирихле и Коши для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка 137
4.1. Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравнения второго порядка 137
4.2. Задачи Коши и Дирихле для модельного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка 145
Глава 5. Применение элементов дробного исчисления 149
5.1. Линейные математические модели вязкоупругого тела, основанные на производных дробного порядка 149
5.2. Редукция определяющего уравнения Ю. Н. Работнова к модели Р. Л. Торвик-П. Дж. Торвик вязкоупругого тела 151
5.3. Применение к уравнению диффузии Фурье 154
5.4. Применение к гиперболо-параболическим уравнениям второго порядка с нехарактеристической линией изменения типа 160
5.5. Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона и параболически вырождающемуся гиперболическому уравнению 170
5.6. Применение к гиперболо-параболическому уравнению второго порядка с характеристической линией изменения типа 180
5.7. Применение к задаче Трикоми для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа 186
5.8. Применение к сплошным средам с памятью 189
5.9. Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией 194
5.10. Об одной модели распределения концентрации поглощающих молекул по трассе лазерного излучения 201
5.11. Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу 203
5.12. Задача Самарского в видоизменённой постановке для нелокального диффузионного уравнения 210
5.13. Смешанная задача для однородного нелокального волнового уравнения 215
5.14. Смешанная задача для неоднородного нелокального волнового уравнения 221
5.15. Математическая модель процесса трансформации полей температуры и влажности в приземном слое атмосферы 223
5.16. О некоторых обобщениях закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса 224
5.17. Применение к уравнениям состояния вещества 229
5.18. Уравнение роста численности популяции 231
5.19. Применение к задаче определения формы прорези плотины 234
5.20. О качественных свойствах дробного осцилляционного уравнения 236
5.21. Об уравнении «фрактального» осциллятора 240
5.22. Обобщённое дробное осцилляционное уравнение 242
5.23. Об одном представлении обобщённого регуляризованного оператора дробного дифференцирования 248
5.24. Прямая задача теории сопла Лаваля 251
Список литературы 258
Предметный указатель 268